Роман Евгеньев родился в небольшом дальневосточном селе Спасское, но футболом начал заниматься в Москве — сначала в секции общеобразовательной школы, затем в «Соколе» и «Спартаке».
После того как на его позицию взяли капитана сборной России из «Чертаново», футболист принял решение покинуть спартаковскую академию и перейти в «Динамо».
В сезоне-2016/17 Роман Евгеньев провёл 7 матчей за «Динамо-2», а через год стал бронзовым призёром молодёжного первенства. Дебютировал в главной команде в октябре 2018 года в матче с «Крыльями Советов», когда в начале матча травму получил Владимир Рыков. В 19 лет стал основным центральным защитником команды.
В ноябре 2020 года Евгеньев впервые вышел на поле с капитанской повязкой в матче с «Локомотивом», в котором также забил свой первый гол за основной состав. Спустя 10 дней Роман дебютировал в сборной России в матче Лиги наций УЕФА против Сербии. Футболист попал в окончательную заявку национальной команды на Евро-2020.